YANGHUIMIN

    1 椭圆曲线拟合的砂轮修形原理在刃磨螺旋槽滚刀时，砂轮的磨削面会与滚刀的前刀面发生干涉，使磨削出的滚刀前刀面出现畸变，呈中凸形，从而使加工出来的齿轮齿形畸变，节线附近出现中凹，无法正常啮合，因此，在刃磨大螺旋槽滚刀时，必须用相应的砂轮修形装置来对砂轮的磨削面进行正确修形。 磨削大螺旋角滚刀时的啮合线是一条十分复杂的空间曲线(啮合方程见参考文献[1])，反映出的砂轮轴截形也十分复杂，通常难以用显式函数予以描述，只能通过求解啮合方程得到砂轮轴截形的数值解，即用一系列点的坐标描述:{Mi(xi，yi):i=1，2，… n}。 从相关文献的计算结果来看，尽管砂轮轴截形的曲线复杂，但十分光滑，在整个工作区段内曲率呈均匀连续变化，无尖点、无突变，呈中凸形。砂轮的轴截形与滚刀参数、砂轮直径密切相关，不同的滚刀、砂轮有不同的砂轮轴截形，因此，必须有一种砂轮修形装置能对不同的滚刀砂轮进行调整。鉴于这种情况，我们利用“椭圆曲线拟合”的方法设计了如图1所示的砂轮修形仪，进口机床AGW482 就是利用该方法来对砂轮进行修形的，这里我们针对国产机床进行了改进。 为所设计修形仪的结构原理图。廓形块上面有一下凹的圆弧面r，当廓形块绕自身轴线y1转过一个角度α(由量块或游标卡尺测量距离E1)时，相当于平面斜截圆弧面，形成椭圆曲线f(x，y)。 廓形块下有一托盘，可带动廓形块绕轴线z1转过一个角度β(由量块或游标卡尺测量距离E3)，相当于改变椭圆相对于砂轮截形的倾角。支架可带动廓形块沿x1方向移动，位置由量块或游标卡尺测量距离E2。靠模螺钉可微调椭圆相对于砂轮磨削面的高低位置由E4决定。 σ(oxy)为砂轮轴截形坐标系，σ1(o1-x1y1)为椭圆坐标系，原点o1在σ(o-xy)的坐标为(x0，y0)。利用坐标变换可得到椭圆在砂轮轴截形坐标系σ(o-xy)中的方程为: f(x，y)=[(x-x0)sinβ-(y-y0)cosβ]2sin2α+[(y-y0)sinβ-(x-x0)cosβ]2-r2=0 (1) 由于r值对椭圆形状影响较大，我们做了三个廓形块(快换，分别加工成不同圆弧面)以供选择，r=30，45，60mm。这样只要E1、E2、E3、E4、r五个参量选得合适，就能获得一条与砂轮轴截形拟合度较高的椭圆曲线段来对砂轮进行修形。

　　2 修形仪调整参数的优化计算要确定椭圆方程(1):f(x，y)，需要给定一组{α，β，x0，y0，r}值，问题的关键在于找到一组{α，β，x0，y0，r}值，使椭圆曲线f(x，y)与砂轮轴截形曲线(即理论廓形:{Mi(xi，yi):i=1，2，… n})间的误差最小，在这里引入了下列优化设计方法。

　　2.1 修形仪调整参数的优化模型选取{α，β，x0，y0，r}为设计变量:X =[α，β，x0，y0，r]T，修形仪调整参数{E1，E2，E3，E4}由椭圆的形状及位置参数{α，β，x0，y0，r}计算得到。当把砂轮轴截形曲线若干离散点的坐标{Mi(xi，yi):i=1，2，…n}代入椭圆方程(1):f(x，y)时，有剩余误差:εi=fi(xi，yi):i=1，2，…n。 为使椭圆曲线与砂轮轴截形曲线拟合误差(即总的剩余误差εI)最小，可以把剩余误差的均方差的平方和剩余误差平方的最大值作为我们的优化目标，即使均方差和最大偏差最小。两者取相同的权重，则优化的目标函数为 Ø(X)= 1 n Σ i=1 (ω-&εi)2+max(ε2i) n-1 (2) 式中ω为平均误差，ω= 1 n Σ i=1 εi n 这样该目标函数既控制了拟合的总误差，也可防止个别点出现大的偏差。 根据修形仪和机床的结构，可以建立约束函数。

　　2.2 程序设计及计算求解上述优化问题采用的是惩罚函数法(SUMT)，程序中调用了无约束优化鲍威尔法(POWELL)。程序自动生成罚函因子r0，经过试算修改后可以较好地保证收敛速度和计算精度，对调整参数{E1，E2，E3，E4}的计算精度可达到0.01 ～0.001mm。 选定一把带有螺旋容屑槽的滚刀，滚刀参数为:滚刀外径d=158.5mm，前刀面导程H=2300mm，螺旋角θ= 10°15'47"，前刀面深T=31 mm，选取砂轮直径D=150 mm。 计算结果如下:设计变量X =[α，β，x0，y0，r]T=[4.89，4.08，-24.09，49.39，30]T，目标函数Ø(X)=0.2906752，调整参数{E1，E2，E3，E4}={13.66，15.05，9.86，8.10}。

　　3 拟合误差分析计算由于优化目标函数并不能直观地反映拟合误差的大小、方向和分布情况，因此我们有必要对拟合误差进行理论分析，以检验所建优化模型是否正确。由于砂轮的法向误差对滚刀的磨削精度影响较大，同时也比较直观，因此我们选取砂轮的法向误差进行分析。

　　3.1 法向误差的求解过椭圆(即实际廓形)上任意一点Q(x'，y')作法线，与砂轮轴截形曲线(即理论廓形)交于一点P(xi，yi)，则该法线方程为 y-yi=k(x-xi)  (3) 式中法线斜率k 可由椭圆方程(1)求出，即 k=-dx/dy (4) PQ两点之间的距离即为Q 点的法向误差，有 δi=±  √   (xi-x')2+(yi-y')2 (5) 规定当误差为正值时，砂轮实际点在理论点之外，为负值时实际点在理论点之内。 P(xi，yi)为{Mi(xi，yi):i=1，2，… n}上的已知点，由式(1)，(3)和(4)可求出法线与椭圆(有效段)的交点坐标Q(x'，y')，由式(5)可得到Q 点的法向误差δi，通过比较P和Q两点坐标值的大小，可以判断法向误差的正负。 把{Mi(xi，yi):i=1，2，…n}各点代入式(5)即可求得各拟合点的法向误差δi，由此可直观地看出沿径向(砂轮廓形方向)拟合误差的分布情况。

　　3.2 程序设计及计算在上述计算法向误差的过程中，需要反复求解一个一元高次方程，为此我们编制了计算程序。由于解的区间较易确定，我们采用了二分法[3]。对上述优化结果进行误差分析，并由计算机直接输出图3 所示的各点拟合误差的误差分布情况。其中最大偏差δmax=0.000824mm，平均误差ω=0.000281mm，均方根差σ=0.000359mm。 从以上误差分析可以看出，拟合精度足以满足砂轮修形的要求。

　　4 试验及结论针对上述求解过程所编制的完整计算程序能对任意一把要刃磨的螺旋槽滚刀进行计算。其程序运行过程如下:输入滚刀参数→计算砂轮轴截形→优化修形仪调整参数计算拟合误差→输出数据及图形。我们选取螺旋角在5～22°之间的滚刀，应用该程序进行计算，理论上拟合误差大都在0.01～0.001mm之间。用该修形仪对砂轮进行修形磨刀试验，其刃磨滚刀前刀面的实际误差在0.02～0.07mm之间。基本上通过一次刃磨即能达到A 级滚刀精度的要求。 经上述计算和试验证明，所建模型正确，而且设计的砂轮修形仪比进口机床AGW482修形装置的调整参数更多，修形精度更高。编制的调整参数计算程序能对任意一把滚刀进行计算，通过调整修形仪修整砂轮对滚刀进行刃磨，解决了国产滚刀磨床刃磨大螺旋角滚刀时砂轮修形的难题。该修形仪可用在多种滚刀磨床上，对现有国产机床进行改造也不失为一种简单易行、经济可靠的方法。