XIAOZHONGMING

    摘要: 提出理论建模- 动态试验- 多目标优化技术的广义结合部组参数辨识方法，该方法在综合考虑结合部组与被连接件间的双重耦合特性、构建导轨滑块系统广义等效结合部组模型的基础上，通过结构凝聚技术降低计算成本保证计算精度，最终推导得到约束状态下以阻抗形式表达的整体动力学模型，基于未知传递函数/阻抗数据信息获取，将理论建模、动态试验与多目标优化问题求解相结合对结合部参数进行辨识。实例表明，该广义结合部组参数辨识方法的辨识精度较高，模态频率及频响函数的误差非常小，该辨识方法有效。


    关键词: 数控机床 导轨滑块 结合部组 数学模型 参数辨识


    0 引言


    在数控机床中，导轨滑块起到导向和支撑作用，由于其动力学特性直接影响到整个机床的加工精度、产品质量，一直以来备受国内外学者的关注，围绕其动力学性能、建模与参数辨识展开了众多研究。


    目前常采用的结合部模型可以分为:基于接触理论的结合面模型，例如 G- W 接触模型、M- B 接触分形模型、Hertz 接触理论模型等，这些模型均基于接触力学相关理论，求解过程涉及经验公式且参数较多，粗糙度给定基于统计学理论，从而造成数据求解的不稳定及建模精度的可靠性降低;基于替代模型的结合部动力学建模，该模型的基本思想是通过试验设计借助先进的优化算法、回归分析技术等，建立结合部的动力学替代模型，实现结合部参数预测，该方法为了提高预测精度需要做大量的试验，工作较繁琐;基于有限单元法理论的结合面模型，其中弹簧- 阻尼结合部模型采用弹簧近似表征结合部动力学性能，简单通用却忽略了各弹簧的耦合效应，对各自由度耦合效果考虑不足，而基于接触单元的结合面模型在一定程度解决了这个问题，该方法将结合面理解为接触单元，通过构造接触单元等效力学模型来实现结合部建模此外，部分学者通过等参单元和 IWAN 梁单元来建立结合部模型，但这两类模型对于复杂机械结构的适用性较差。在确定结合部动力学模型的基础上，需要进一步对结合部模型参数进行识别，在对结合部等效动力学参数确定时常采用以下方法:①理论解析计算法，例如吉村允孝法、法面特性参数法等，该方法需要累积较全的数据与资料，公式表达繁琐，参数获取工作量非常大，且不利于结构系统设计。②试验辨识法则基于试验数据，通过实验获得结合部动态信息后，对其等效参数预估识别，例如提出基于整体结构频响函数对结合部参数进行解析，但该类方法常需要对结合部进行数据测试，鉴于连接方式和试验条件限制，其推广应用受到限制，此外，此类方法多需要求逆运算，从而将测试误差放大。③理论建模- 动态试验识别法则将前两种方法结合，在工程上得到广泛应用，例如传递矩阵识别法通过将复杂多自由度系统分离后构造最佳拟合圆方程识别结合部参数，则采用 Inamura- Sata 参数识别法使用模态向量及特征值对结合部参数进行辨识。实际上，后两类辨识方法又可以根据不同的试验数据方法分为模态测试辨识法与频响函数测试辨识法。前者对模态参数精度的敏感性较强，在测试模态向量空间交角较小、正交性较差、模态重合较严重的情况下，基于模态测试的辨识方法将会产生较大的误差;而后者则直接利用原始频响函数进行辨识，避免特征模态提取过程从而在一定程度上降低其对辨识精度的影响。


    基于上述分析，本文综合考虑结合部组内以及结合部组和被连接件之间的双重耦合特性，构建导轨滑块系统广义等效结合部组模型，通过结构凝聚技术在保证计算精度降低计算成本的情况下借助动刚度综合法、阻抗综合法构建整体结构动力学模型，通过未知阻抗函数获取，提出理论建模- 动态试验-多目标优化的广义结合部组模型参数辨识技术( Simulation- experiment- multiobjectiveoptimization，SEMOP)。


    1 广义等效结合部组模型


    目前常用弹簧- 阻尼单元等效滚动导轨滑块接触，该单元的特点是简单、通用性较好，但缺少结合部的耦合性表征，通过构建材料力学本构模型来建立结合部模型，研究了单个导轨滑块内部的耦合特性，构造了单个导轨滑块结合部的接触模型，但其仍然没有注意到由几个导轨滑块单元组成的导轨滑块结合部组内同样存在着耦合特性。本文以此类推，图 1 中，假设导轨滑块 1 之间发生垂直向下变形位移，由于被连接件的“传递” 效应，其他结合部同样会产生向下的位移，若被连接件刚度较好，则可近似用简单的几何关系式来表征不同结合部间的位移关系。可以看出:结合部组在将部件联结的同时，也受到被连接件的“连接” ，这一效应便引起了结合部组内的耦合关系，这个耦合关系一方面表征了结合部组内的耦合特性， 另一方面也表征了结合部组和被连接件之间的相互耦合影响。而实际上在将整个机床动态特性作为研究对象时，更需要关注这一双重耦合性质。基于这一思想，本文提出广义等效结合部组模型，如图 1 所示，部件B 通过导轨滑块结合部组与部件 A 构成可动联接，将该导轨滑块结合部组作为广义结合部组模型，构造其结构动力学模型，从而表征上述关系。

    定义该广义结合部组模型需要首先确定连接部件的结合部组，如图 1 所示，假设部件 A 相对于部件 B 可以在 x 向相对滑动，该结合部组包含了 4 个导轨滑块系统(依次顺时针编号为 1、2、3、4)，分析可得部件 A 和 B 之间的势能 U 由两部分组成:自由度间耦合势能 UC、自由度非耦合势能 UM，其中 UC包含了结合部内自耦合势能以及结合部间由于被连接件引起的互耦合势能， 有

    式中:下标 i、k 表示结合部编号;j、l 表示自由度方向;a、b 表示某组结合部与部件 A B 结合点;xiaj表示第i 组结合部结合点a 在 j 方向上的位移;kijkl表示结合部 i 在自由度j 上与结合部 k 在自由度l 上的耦合刚度，可以理解为结合部 i 在自由度j 上产生单位位移时需要施加在结合部 k 的自由度l 上的力大小，当 i = k 时表示结合部内自耦合刚度，其对应的势能为结合部内自耦合势能，当 i≠k 时表示结合部间由于被连接件引起的互耦合刚度，其对应势能为被连接件引起的互耦合势能。此外，有

    式(1)、 (2)可表示为

    根据虚功原理以及拉格朗日方程，可以得到广义结合部组模型的刚度矩阵

    根据刚度矩阵的对称性可知:kijkl= kklij。可以看出广义结合部组模型的刚度矩阵与文献中的类似，但与其不同的是这里表征了结合部组和被连接件之间的双重耦合特性， 而不单单是在单个导轨滑块内部。


    同理可得其质量矩阵与阻尼矩阵，最终可以得到广义结合部组等效动力学模型为

    式中 x·J、x·J、xJ、 QJ是结合部加速度、速度、位移及力向量，MJ、CJ、KJ是结合部质量、阻尼及刚度矩阵。分析可以看出，该广义结合部组模型中不涉及结合部组的连接方法和结合部组形状、尺寸，以及部件之间的空间布置方式，例如工作台为倾斜安装方式(轨道滑块与地面呈一定角度)，其通用性较好，同样适合于其他形式的结合面类型。


    2 整体等效结构动力学建模与结合部参数辨识


    2. 1 结构自由度凝聚


    将机械机构按照主从自由度划分为

    其中下标 m 表示主自由度，r 表示从自由度。忽略结构在低阶模态的惯性力对从自由度的影响，因此，自由振动下的系统的动力学方程可以表示为

    可以看出自由度缩聚以后模型的自由度为主自由度数目，从而提高了计算效率。此外要注意在选取主从自由度时，为保证计算精度，位于结合部处及主要振动方向上的自由度一定要作为主自由度。


    2. 2 整体结构动力学建模及基于 SEMOP 方法的结合部辨识


    根据式(8)， 部件 A 无约束动力学方程可写为

    式中:xmA为部件 A 中对应于除去结合界面节点的位移向量，xmJ为部件 A 中结合界面节点的位移向量。同理可写出部件 B 无约束动力学方程。广义结合部组动力学方程(式 5)可写为

    式中:xJA为与部件 A 相连的广义结合面节点位移，xJB为与部件 B 相连的广义结合面节点位移。将两个部件和广义结合部组模型联立写为

    将式(12)、(13)代入(11)，并写为阻抗表达式以实现对传函形式表达的解耦， 有

    假设将结合部件 B 约束，则其部分节点自由度及受力为零，因此，将式(14)中对应的自由度行列删除则可以得到约束状态下以阻抗形式表达的整体动力学模型

    阵，最终可整理得到形如 DX = P 的线性方程组，其中 D、 P 为包含系统动力学刚度、阻尼及实测信息的矩阵与常数向量，而 X 为广义结合部组单元参数。


    以往求解该过程中，多采用广义矩阵法或最小二乘法转化为单目标函数求解。单目标函数转化过程常采用权重法、最大最小值法等，统称为归一化方法，一方面该方法对 Pareto前沿最优解形状比较敏感，对于最优解前沿凹陷部分会出现优化失效;另一方面该方法求解效率较低，在求解 Pareto 前沿最优解的过程中优化计算过程较冗长。采用最大最小值归一化法不仅增加了优化目标的非线性特征，增大了优化难度，而且容易使优化目标陷入“自锁” ，即归一化后目标函数始终为多目标函数中的某一目标函数，而采用权重归一法则引入优化决策者的主观影响，权重系数设置对优化结果起到了重要作用。此外，最小二乘法(或广义矩阵法)为局部寻优法，易造成局部收敛，并且在矩阵系数数值较大时对解的影响力较大，造成求解过程的不稳定性。鉴于以上分析，根据式(16)，本文提出理论建模- 动态试验- 多目标优化技术的广义结合部组模型辨识方法，该方法在构建导轨滑块系统广义等效结合部组模型的基础上，通过结构凝聚技术降低计算成本、保证计算精度，推导约束状态下以阻抗形式表达的整体动力学模型，基于未知传递函数/阻抗数据信息获取，将理论建模(ZA+ Z'B+ ZJ)、动态试验(Z'z)与多目标优化问题求解相结合，采用多目标粒子群(MPSO)优化算法，对结合部参数进行辨识。具体过程见图 2。

    2.3 算例及结果分析

    基于上述方法，采用如图 3 所示模型，图中底座和滑枕之间由 4 个导轨滑块组成的结合部组相连接，底座采用固定约束，构建其广义结合部组动力学模型，通过对未知阻抗函数获取(阻抗函数的频率自变量采用均匀采点，加入噪声误差 10%)对参数进行辨识。迭代计算结果如图 4 所示，辨识结果及频率响应函数曲线如表1 及图5 所示，其中 kij(i，j =1，2，3，4)含义同式(1);f1～ f3为前 3 阶非刚体模态频率。在辨识过程中，为提高识别精度和效率，阻抗函数选取应精简，尽量选取独立阻抗函数代入辨识，即拾振(激振)点相同时，激振(拾振)点应在最大程度上区分开来，避免阻抗函数的重复性与相关性，否则一方面会增加阻抗函数个数降低计算效率，另一方面相关性较强的阻抗函数的重复代入，会引起优化结果精度降低。从表 1 可以看出，广义结合部组参数辨识精度较高，误差最大为 7. 21%，图 5a 为其中一个传递函数的实部与虚部曲线，图 5b 为另一个传递函数的实部与虚部曲线，可以看出真实曲线和预测曲线的吻合程度亦很好。增加辨识难度，在采样频率较低、阻抗函数的频率自变量采用对数形式非均匀采点的情况下进行参数辨识，从图 6 中可以看出真实曲线的波动变大。从表 2 的辨识结果可以看出，虽有一耦合刚度数值误差较大，但其余参数及前3 阶非刚体模态频率的预测值精度依然较高，且从图 6 可以看出，真实曲线与预测结果的偏差较小，因此可认为该辨识结果有效。此外，将底座采用均布的弹簧单元与地面相连，再次进行辨识，结果如表 3及图7 所示。综上可以看出，该 SEMOP 方法的辨识精度较高，证明了该方法的有效性。

    3 结论


    (1) 综合考虑结合部与被连接件间双重耦合特性，推导构建了广义结合部组等效动力学模型及约束状态下以阻抗形式表达的整体动力学模型，该广义结合部动力学模型的通用性较好，无关于结合部组的连接方式、形状尺寸及空间布置。


    (2) 在此基础上，提出理论建模- 动态试验- 多目标优化技术的广义结合部组参数辨识方法，通过未知阻抗函数获取，对结合部参数进行辨识。实例结果表明，该广义结合部组参数辨识方法的辨识精度较高，其方法有效。

    (3) 该结合部建模与参数辨识可推广应用于其他类型的结合部参数识别，在一定程度上为结合部建模与参数辨识研究提供了重要的理论基础和方法依据。